Totolotek (teraz to się nazywa lotto) polega na losowaniu bez zwracania 6 liczb z puli kolejnych liczb od 1 do 49. My skreślamy 6 i oni losują 6. To jest jeden tzw. zakład i kosztuje 3 zł. Jeśli wśród tych 6 liczb skreślonych przez nas znajdą się co najmniej 3 wylosowane przez nich, to wygrywamy. Losowanie odbywa się we wtorki, czwartki i w soboty o godzinie 22:15 w telewizji TVP Info (tzw. trójka). Więcej szczegółów o grze tutaj. W grze może brać udział wyłącznie osoba, która ukończyła 18 lat. Nie ma zmiłuj, ale widziałem na własne oczy jak sprzedają kupony nieletnim. Nie o tym jednak chcę pisać.

Mówi się, że szansa na wygranie 6-tki jest jak 1 do 14 milionów. Co to dokładnie oznacza? Prawdopodobieństwo takich zdarzeń obliczamy przy pomocy rozkładu hipergeometrycznego. Jeśli w elementach jest wygrywających i losujemy z elementów, to prawdopodobieństwo, że elementów z próby -elementowej jest wygrywających wynosi . U nas = 49, = 6, = 6, a = 3,4,5,6. Dla = 6 mamy prawdopodobieństwo trafienia 6-tki równe . Dla nas oznacza to tyle, że aby wygrać musielibyśmy grać przez prawie 90 tysięcy lat. Ale prawdopodobieństwo trafienia 3-ki nie jest już takie małe i wynosi około 1,765%, czyli zdarza się średnio raz na 5 miesięcy grania. Oczywiście te 5 miesięcy grania kosztuje nas 180 zł, a za 3-kę wygrywamy 24 zł. Czyli się nie opłaca…

Prawdziwe pytanie brzmi: czy można zwiększyć te szanse? Oczywiście, że tak. Zamiast wysyłać jeden zakład możemy za każdym razem wysyłać więcej zakładów. Jeśli zagramy tzw. systemem, to skreślamy od 7 do 12 liczb zamiast zwykłych 6-ciu. Co to daje? Skreślenie 7 liczb jest równoważne skreśleniu 7 zakładów po 6 liczb, ale tak dobranych, aby zawierały wszystkie możliwe kombinacje szóstek w 7 liczbach. Dlatego też taki zakład na system 7 liczbowy kosztuje 7 razy więcej, czyli 21 zł. Podobnie zakład na system 12 liczbowy odpowiada zakładom prostym i kosztuje 2772 zł. Szansa na 6-tkę rośnie wtedy do poziomu 1 do 15134. Czyli doczekamy się grając przez 97 lat… No cóż.

Ok. Skoro trafienie 6 jest prawie niemożliwe, to co z 5-tką. Za poprawne wytypowanie 5-ciu liczb podobno płacą średnio 5300 zł. To też jest pieniądz. Zbadajmy za ile trzeba grać, żeby trafiać 5-tkę średnio raz w miesiącu. Skreślając raz 6 liczb skreślamy de facto sześć piątek. Czy prawdopodobieństwo rośnie 6 razy? Nie, rośnie aż 258 razy! Czy skreślając 2 razy po 6 liczb skreślamy 12 piątek? Tak, jeśli skreślone przez nas liczby się nie powtarzają. Mogą się nie powtarzać, w 8 zakładach, ale w 9-tym zakładzie nie ma siły i 5 liczb (czyli jedna piątka) musi się już powtórzyć! Skreślając w każdym losowaniu już po 8 zakładów (24 zł) z wszystkimi różnymi liczbami mamy szansę trafić 5-tkę raz na 44 lata. Jeśli chcemy skreślać więcej niż 8 zakładów, to niektóre 5-tki będą się powtarzać (które?). Powtarzanie jest dobre, czy złe? Jeśli powtórzą się na różnych kuponach i właśnie taką powtarzającą się 5-tkę trafimy, to wygramy tyle razy, ile się dana 5-tka powtórzyła w skreślanych przez nas kuponach. Ale zawsze będzie więcej 5-tek, które się nie powtarzają. Powtarzanie się 5-tek jest więc dla nas czymś złym! Chcemy w taki sposób skreślać kupony, żeby jak najmniej razy powtórzyła się pojedyncza 5-tka. Systemy są zwykle obliczane na powtarzanie się 6-tek, a nie 5-tek, 4-ek lub 3-ek. Istnieje coś takiego, jak minimalna liczba zakładów (w odpowiedni sposób skreślonych), która zwiększa prawdopodobieństwo 5-tki, 4-ki albo nawet 3-ki w określonym stopniu. Obie krzywe: wydatków i średnich zysków gdzieś się muszą przecinać, a po tym przecięciu – odwracać. Zyski będą większe niż koszty.

Jeden zakład, czyli jedna 6-tka zawiera 6 różnych 5-ek, 15 różnych 4-ek i aż 20 różnych 3-ek. Wszystkich liczb jest 49. Maksymalnie 8 zakładów może zawierać niepowtarzające się liczby, bo 6*8 = 48 < 49. W 8 zakładach jest 160 różnych trójek. Ile jest wszystkich 3-ek? Jest ich 18424. Skoro 1 zakład zawiera 20 trójek, to czy 18424/20 = 922 zakłady będą zawierać wszystkie możliwe trójki? Tak, ale oprócz tego będą zawierać za dużo powtórzonych trójek. Jaka jest minimalna liczba zakładów, które zawierają wszystkie możliwe trójki tak, żeby powtarzały się one możliwie najmniej razy? A może nie wszystkie możliwe, tylko jakieś konkretne, wybrane trójki? Zademonstruję ten sposób na przykładzie. Wybieramy 12-tki z 49 i patrzymy ile ich potrzeba, żeby zawierały wszystkie możliwe 3-ki. Mi wychodzą 532 12-tki, gdzie każda 3-ka zawarta jest średnio 6,34 razy, ale są i takie 3-ki, że występują w 12-tkach 171 razy. Które to 3-ki? Wszystko jedno. To zależy w jakiej kolejności bierzemy liczby od 1 do 49. Każda metoda skreślania preferuje jakieś 3-ki. Jeśli teraz pod te preferowane (niejako z przymusu występujące częściej) podstawimy liczby ostatnio najrzadziej albo najczęściej występujące, to mamy system nie do pobicia 🙂 Oczywiście jeśli ktoś wierzy w takie bzdury. Bo – matematycznie rzecz biorąc – to są bzdury. Losowanie lotto jest systemem bez pamięci i kolejny wynik nie ma nic wspólnego z tym, co zostało wylosowane wcześniej. To, że czasami zdarza się tak, że wygląda jakby miało coś wspólnego jest efektem przypadku. Przypadek nie jest ani chamski ani preferencyjny. Dopuszcza wygrane. Jeśli szansa jest znikoma to i tak można wygrać już jutro. To nie zmienia faktu, że nie da się tego przewidzieć. Tak, jak pisałem: można sobie tylko zwiększyć szanse.